מכפלה של שבריםאינדוקציה 571 · שיעור 8

אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 8: מכפלה של שברים

פרק 2 – הוכחת נוסחה למכפלה

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:

(1 − 12) · (1 − 13) · …

… · (1 − 1n + 1) = 1n + 1

הוכחה באינדוקציה

(1 − 12) · (1 − 13) · …
… · (1 − 1n + 1) = 1n + 1

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: גורם אחד:

1 − 12 = 12

אגף ימין:

11 + 1 = 12 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

הוכחה באינדוקציה · המשך

(1 − 12) · (1 − 13) · …
… · (1 − 1n + 1) = 1n + 1

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

(1 − 12) · … · (1 − 1k + 1) = 1k + 1

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

הגורם האחרון בעבור n = k + 1 הוא (1 − 1k + 2).

צ״ל: (1 − 12) · … · (1 − 1k + 1) · (1 − 1k + 2) = 1k + 2

נציב במקום (1 − 12) · … · (1 − 1k + 1) את 1k + 1:

📐 הנחת האינדוקציה

צ״ל: 1k + 1 · (1 − 1k + 2) = 1k + 2

📐 הנחת האינדוקציה

(1 − 12) · … · (1 − 1k + 1) = 1k + 1

הוכחה באינדוקציה · המשך

(1 − 12) · (1 − 13) · …
… · (1 − 1n + 1) = 1n + 1

צ״ל: 1k + 1 · (1 − 1k + 2) = 1k + 2

בתוך הסוגריים נעשה מכנה משותף k + 2:

📐 מכנה משותף

1k + 1 · (1 − 1k + 2) = 1k + 1 · [k + 2k + 2 − 1k + 2]

= 1k + 1 · k + 2 − 1k + 2

= 1k + 1 · k + 1k + 2

נצמצם את (k + 1):

= 1k + 2 ✓

קיבלנו בדיוק את מה שצריך להוכיח, ולכן הטענה נכונה בעבור n = k + 1.

📐 מכנה משותף

1 − 1b = bb − 1b = b − 1b

הוכחה באינדוקציה · המשך

(1 − 12) · (1 − 13) · …
… · (1 − 1n + 1) = 1n + 1

קיבלנו בדיוק את מה שצריך להוכיח, ולכן הטענה נכונה בעבור n = k + 1.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא